मूलभूत संख्याज्ञान
एमपीएससीच्या गेल्या 4 पूर्वपरीक्षांत 9 प्रश्न होते. या उपघटकांची काठिण्य पातळी ही इयत्ता 10 वी पर्यंतची आहे. उमेदवार पदवी उत्तीर्ण होतो त्यावेळी अनेकदा त्याने दहावीत अभ्यासलेल्या अंकगणिताच्या मूळ संकल्पनांवरील पकड कमी झालेली असते. त्यामुळे त्याची उजळणी करून विचारलेल्या प्रश्नांशी या संकल्पनांचा वापर करण्याचे कौशल्य विकसित करणे आवश्यक असते.
व्यावहारिक उपयोग करण्याचा सराव केल्यास या घटकावरील सर्व प्रश्नांची उत्तरे मिळू शकतात. त्यासाठी त्याला काही मूलभूत संकल्पनांची माहिती असणे गरजेचे असते.
या घटकाची पूर्वतयारी म्हणून या सर्व संकल्पनांना उजाळा देणे आवश्यक आहे -
- त्रिकोणमिती (Trigonometry),
- संभाव्यता (Probability),
- क्रमचयन - एकीकरण (Permutation - Combination)
1) मूलभूत संख्याज्ञानाची व्याप्ती व स्वरूप
1) मूलभूत अंक/संख्याज्ञान
2) ऑर्डर ऑफ मॅग्निट्यूड (इयत्ता 10 वी चा दर्जा)
3) डेटा इंटरप्रिटेशन - तक्ता, आलेख, चार्ट
4) डेटा सफिसिएन्शी (इयत्ता 10 वी स्तर)
2) मूलभूत संख्याज्ञाना संदर्भात काही महत्त्वाचे मुद्दे
1) मूलभूत संख्याज्ञान -
अंक/संख्या आणि त्यांच्यातील संबंध -मूलभूत संख्याज्ञान म्हणजे आपली संख्यांची व त्यावरील केल्या जाणार्‍या बेरीज, वजाबाकी, भागाकार, गुणाकार इत्यादी, क्रियांशी असलेली ओळख. संख्यारेषा व त्यावर आधारित संकल्पना, लसावि - मसावि, नैसर्गिक, पूर्ण, सम, विषम व मूळ संख्या, घातांक, एकचल समीकरणे - समचलन, व्यस्तचलन घातांकाच्या रूपात असणार्‍या संख्यांवर गणितीय क्रिया करता येणे या सर्वांचा मूलभूत संख्याज्ञानात समावेश होतो.
त्यातील काही घटक पुढीलप्रमाणे -
• एखाद्या संख्येतील एकक व दशक स्थानांच्या अंकांची अदलाबदल केली असता, तयार होणारी संख्या व मूळ संख्या यांमधील फरक 9 च्या पटीत असतो व ती 9 ची पट त्या दोन अंकांमधील फरकाची असते.
उदा. 1258 या संख्येतील 5 व 8 या अंकांची अदलाबदल केली तर तयार होणारी नवीन संख्या 1285 व मूळ संख्या 1258 यांमधील फरक 27 = 9 x (8 - 5) = 9 x 3 = 27
• एखाद्या संख्येत दशक व एकक स्थानी तोच अंक असेल, तर त्याच्या त्या दोन्ही ठिकाणच्या स्थानिक किमतीतील फरक हा त्या अंकाच्या (10 - 1) = 9 पटीइतका असतो.
उदा. 2144 मध्ये दशक व एकक स्थानी 4 हाच अंक आहे. त्यांच्या स्थानिक किमतीतील फरक = 49 - 4 = 36 म्हणजे 4 ची 9 पट.
• शतक व दशक स्थानी तोच अंक असेल, तर त्याच्या त्या दोन्ही ठिकाणच्या स्थानिक किमतीतील फरक हा त्या अंकाच्या (100 - 10) = 90 पटीइतका असतो.
उदा. 4772 मध्ये शतक व दशक स्थानी 7 हाच अंक आहे. त्यांच्या स्थानिक किमतीतील फरक = 700 - 70 = 630 म्हणजे 7 ची 90 पट.
• एखाद्या संख्येत शतक व एकक स्थानी तोच अंक असेल, तर त्याच्या दोन्ही ठिकाणच्या स्थानिक किमतीतील फरक हा त्या अंकाच्या (100 - 1) = 99 पटीइतका असतो. तसेच सहस्र व दशक स्थानी तोच अंक असेल, तर त्याच्या त्या दोन्ही ठिकाणच्या स्थानिक किमतीतील फरक हा त्या अंकांच्या (1000 - 10) - 990 पटीइतका असतो.
उदा. 4774 मध्ये शतक व एकक स्थानी 4 हाच अंक आहे. त्यांच्या स्थानिक किमतीतील फरक = 4000 - 4 = 3996, म्हणजे 4 ची 99 पट.
विविध प्रकारच्या संख्या -
• तीन क्रमवार सम (तसेच विषम संख्यादेखील) दोनाच्या पटीत वाढत जातात.
तीन क्रमवार सम (विषम) संख्यांमध्ये सर्वांत मोठ्या व सर्वात लहान संख्या यांमध्ये 4 चा फरक असतो.
• कोणत्याही दोन विषम संख्यांची बेरीज ही एक सम संख्या असते. त्यांचा गुणाकार ही विषम संख्या असते.
एखाद्या सम संख्येला विषम संख्येने भागल्यास व नि:शेष भाग जात असल्यास, येणारा भागाकार ही सम संख्या असते.
दोन दोन विषम संख्यांचा भागाकार नि:शेष असल्यास, येणारा भागाकारही विषम संख्या असते.
• मूळसंख्या - ज्या संख्येला 1 व ती संख्या हे दोनच विभाजक असतात, त्या संख्येला मूळ संख्या म्हणतात.
• 1 ते 100 पर्यंतच्या मूळ संख्या : 2, 3, 5, 7,11,13,17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (एकूण 25 संख्या)
• 2 ही एकमेव सम संख्या, मूळ संख्या आहे; अन्य सर्व सम संख्या या संयुक्त संख्या आहे.
• संयुक्त संख्या - 1 पेक्षा मोठ्या अशा ज्या मूळ संख्या नाहीत. त्यांना संयुक्त संख्या म्हणतात. 1 ही संख्या मूळ संख्या नाही, तसेच संयुक्त संख्या देखील नाही. 1 ते 100 पर्यंत एकूण 74 संयुक्त संख्या आहेत.
• जोडमूळ संख्या - दोनचा फरक असणार्‍या मूळ संख्यांना जोडमूळ संख्या किंवा जुळ्या मूळ संख्या म्हणतात. 1 ते 100 पर्यंतच्या संख्यांमधील 3 व 5 व 7, 11 व 13, 17 व 19, 29 व 31, 41 व 43 49 व 61 आणि 71 व 73 या 8 जोडमूळ संख्यांच्या जोड्या आहेत.
• सहमूळ संख्या - ज्या दोन किंवा अधिक संख्यांना 1 व्यतिरिक्त अन्य सामाईक विभाजक नसतो, त्या सहमूळ (किंवा सापेक्ष मूळ) संख्या होत. उदा. 15 व 32, 49 व 64 इत्यादी
• 1 ते 10 पर्यंतच्या दशकातील संख्यांची बेरीज 55 आहे, पैकी सम संख्यांची बेरीज 30, तर विषम संख्यांची बेरीज 25 आहे.
• 1 ते प पर्यंतच्या नैसर्गिक संख्यांची बेरीज = n (n + 1)
2
2) डेटा इंटरप्रिटेशन (माहितीचे विश्लेषण) - तक्ता, आलेख, चार्ट -
सद्यकाळात अनेक प्रकारची माहिती ही तुलनात्मक, विश्लेषणात्मक दृष्टिकोनातून पाहता यावी, यासाठी सविस्तर निबंध स्वरूपात न मांडता विविध सांख्यिकीय साधनांद्वारे मांडली जाते. त्यामुळे अधिकाधिक माहिती एकत्रित व तुलनात्मकदृष्ट्या पाहता येते. सनदी सेवांमध्ये या साधनांचा, सादरीकरणाच्या पद्धतीचा उपयोग केला जातो. अशा सादरीकरणाच्या पद्धतीवर आधारित अनेक प्रश्न सर्वच कल चाचण्यांचा अविभाज्य भाग झाले आहेत. यात अनेक उपप्रकारांचा समावेश होतो.
3) डेटा सफिसिएन्शी (सामग्रीचा पुरेपणा) (इयत्ता 10 वी स्तर) -
येथे दिलेल्या प्रश्नाचे उत्तर काढणे अपेक्षित नसून, दिलेली माहिती उत्तर काढण्यासाठी पुरेशी आहे अथवा नाही हे शोधून काढणे अपेक्षित असते. येथे विधान 1 व विधान 2 मध्ये प्रश्न सोडविण्यास आवश्यक अशी काही माहिती दिलेली असते. या विधानांचा बारकाईने विचार करून, सदर माहितीवरून उत्तर काढणे शक्य आहे अथवा नाही इतकेच ठरवायचे असते. तसेच कोणत्या विधानांचा वापर करणे पुरेसे आहे, हे देखील स्पष्ट करणे अपेक्षित आहे.
या घटकासाठीचे पर्याय पुढीलप्रमाणे असतात -
a) जर फक्त विधान 1 प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी पुरेसे असेल.
b) जर फक्त विधान 2 प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी पुरेसे असेल.
c) जर दोन्हीही विधानांचा एकत्र विचार केला तर पुरेसे असेल. (परंतु कोणत्याही एका विधानाच्या आधारावर उत्तर देऊ शकत नाही.)
d) जर प्रत्येक विधान स्वतंत्रपणे उत्तर देण्यासाठी पुरेसे असेल.
• येथे लक्षात ठेवायची गोष्ट म्हणजे, ‘प्रश्नाचे उत्तर देण्यास दिलेली माहिती पुरेशी आहे का?‘ या प्रश्नाचे उत्तर देणे अपेक्षित आहे. ते ‘पुरेशी आहे‘ अथवा ‘पुरेशी नाही‘ यापैकी कोणतेही असू शकते. या दोन्हीतील बरोबर उत्तर निश्चित करून त्याच पर्यायांकडे जाणे अपेक्षित आहे.
3) मूलभूत संख्याज्ञानावरील प्रश्नांचे स्वरूप
या विभागातील प्रश्नांमध्ये खालील घटक असतात -
• संख्यापद्धती : संख्यांची निर्मिती, संख्यांचे प्रकार, संख्यांवरील क्रिया- बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार, लसावि, मसावि, गणिती क्रिया व कंस सोडवणे
• अपूर्णांक : संकल्पना, त्यांचे प्रकार, तसेच त्यावरील शाब्दिक उदाहरणे.
• वर्ग, वर्गमूळ, घन, घनमूळ यांच्या संकल्पना व ते करण्याच्या गतिमान पद्धती.
• टक्केवारी/शतमान व त्यावरील उदाहरणे, तसेच भागीदारी, व्याज आणि नफा-तोटा यांवरील प्रश्न.
• गुणोत्तर व प्रमाण : मूलभूत संकल्पनेवरील उदाहरणे व एकमान पद्धत, तसेच आलेखांवरील प्रश्नांमध्ये होणारा वापर, साखळी नियम
• काळ, काम, वेग, अंतर यांवरील प्रश्न, तसेच आगगाड्या व आगबोटींवरील प्रश्न.
• समीकरणांवर आधारित शाब्दिक उदाहरणे, वयावर आधारित प्रश्न
• भूमिती-क्षेत्रफळ, घनफळ, पृष्ठफळ, परिमिती
• सरासरी, संभाव्यता, त्रिकोणमिती, क्रमांतरण/चयन, एकीकरण
